美國生產力未來十年可望持續成長

－取材自1.Tilton, Andrew. “The US Productivity Boom: Far From Finished.” Goldman Sachs Global Economics Papers, No.143, July 2006.https://portal.gs.com
2. Bernanke, S. Ben. “U.S. Productivity.” Speech Before Leadership South Carolina, Greenville, South Carolina, August 31, 2006http://www.federalreserve.gov/boarddocs/speeches/2006/20060831/default.htm

一、 邇來美國政府公佈修正後之第二季GDP及生產力數據顯示，美國生產力成長低於市場預期，換算為年率僅1.6%， 然而，Fed主席Bernanke近期則表示，自1995年以來，生產力經歷明顯的成長，平均每年約在2.5%~3%之間，儘管生產力的波動程度亦相對提高，Bernanke審慎樂觀地預測，未來美國長期生產力成長率將可維持約2.5%水準，並可能會持續一段時間。Bernanke歸納此波勞動生產力的提昇，主要係因技術的進步、企業擴大對資訊設備及無形資本的投資、勞動之產出彈性增加、商品市場競爭性升高、管理技術層次提昇、資本市場深度及廣度充足等因素，此番談話除了淡化美國金融市場參與者對殖利率曲線反轉的憂心外，也提振了對未來經濟前景的信心。
二、 一般而言，影響經濟成長的因素，主要包含要素投入量與要素生產力兩部份，其中要素生產力成長(單位投入的產量)對經濟成長之影響力較大，以美國為例，假設經濟成長率為3.5%，則約1.0%為要素投入量增加，要素生產力成長率約2.5%。進一步而言，一般要提昇生產力的方法可藉由：1)改善勞工技術層次，提高勞工之教育年限及經驗累積，2)增加每人平均資本存量，運用更先進設備從事生產，以及3)提昇組織的資源配置效率、追求規模經濟、應用知識管理及促進資訊技術擴散等，其中尤以有關知識管理、技術進步及資訊科技應用之影響最為深遠，能促使生產函數向上移動、並使資本及勞動的產出彈性增大，以人力資本及實質資本的同時成長，克服邊際生產力遞減之生產函數性質侷限。
三、 此外，生產力的成長也與景氣循環間存在著顯著的變動關係，由於勞動成本佔加整體生產過程中附加價值比重之三分之二，當景氣衰退時，企業為維持生產效率，雖然會採減少非核心雇員方式，然而，核心員工部份就算閒著也不致於解雇，以備未來景氣復甦需要增產時可立即派上用場，因此，經濟衰退時，生產力通常略為下降；相對而言，當景氣由谷底翻揚時，通常先增加工時或延長工時，若仍無法增加產量，才考慮增聘員工，故此時，生產力傾向上揚；美國從二次大戰後之資料顯示，生產力的明顯提昇大多出現在景氣開始擴張後的第一年內，等到景氣擴張至高峯並開始反轉向下時，生產力便會出現成長趨緩的現象，高盛預估未來半年生產力成長可能落至2%以下，惟長期趨勢仍然向上。
四、 基於上述，如從勞動生產力的角度分析，除了將生產力成長分解為勞工素質的提昇、資本深化及總要素生產力改善等三項因素外，可進一步將資本深化及總要素生產力兩項，再細分為結構性趨勢主導及景氣循環帶動的生產力變動兩部份；譬如、資本深化可分為長期性生產設備升級擴充之結構性人均資本增加，以及受經濟景氣循環影響之週期性人均資本量變動；而總要素生產力則可區分為知識技術進步引起之生產力變動及受就業市場落後景氣循環造成之生產力變動；高盛分析指出，勞動生產力成長受到長期技術進步之趨勢影響較大，而中、短期景氣循環引起之生產力變動，衝擊層面較小；至於勞工技術層次的提升通常較為緩慢，也比較不受景氣循環影響；並推估，基於未來幾年資本深化指標之成長幅度已接近相對高檔，未來生產力成長大部份需仰賴總要素生產力的成長。
五、 該研究並指出，此次美國勞動生產力的提昇與以往有所不同，較早之前，勞動生產力的提昇是將資訊科技用於現有企業流程的效率提昇，而此次生產力的改善，則源自於企業對組織、生產及作業的流程重新設計、改造以適應現代化資訊科技之商業環境所需之企業流程。換言之，在1990年代，資本深化現象主要受到企業對資訊科技投資大幅增加的結果，係因資訊處理設備之效能快速提昇及價格大幅下跌所致，而且企業有意願且有能力進行大規模的資訊設備支出，並預估未來十年此一風潮將不致有明顯的轉變。此外，雖然資訊科技支出佔總資本支出的比重已達到較成熟的階段，仍可能隨著經濟規模與資本存量的擴張，逐步增加投資金額，高盛也預估資訊科技方面的創新與商業化進程，在未來十年仍可保持穩健成長。
六、 此外，過去十年，用以降低運輸及通訊成本的技術呈現顯著提昇，依過去經驗顯示，新的技術通常需經歷數十年時間方能普及化，並對生產力成長展現出明顯影響；也由於技術擴散的速度緩慢，創新過程與生產力提昇之時間存在落差現象，造成此波2000年科技泡沫破滅與生產力的成長遲緩，使人誤認資訊科技躍進對經濟成長之關係不明顯，實際上，資訊科技對生產效率的提昇，直到目前仍在逐漸發酵之中。高盛估計美國企業目前採用的資本設備效能，僅達當前技術效率前緣的六成左右，仍具相當大的擴展空間，可用以提昇生產技術層次及效率之潛力仍大。
七、 從另一角度觀察，生產力的成長也可視為企業為追求、改善競爭地位所做之努力而衍生之效益，勞動生產力與企業獲利及企業競爭力開始終存在著緊密關係，例如、美國零售業及電子製造業的企業競爭一向激烈，一些致力於提高生產力的公司如WalMart及Intel等，便具有較強的企業競爭力，並享有較高獲利。
八、 綜觀之，儘管受到戰後嬰兒潮退休所導致之勞動參與人口成長減緩，在最近Fed研究報告中調降了美國潛在產出成長率，然而，高盛預估2006~2010年之美國平均勞動生產力成長，勞工素質提昇部份之貢獻每年約可增加生產力0.2%，因資本深化所帶動之生產力成長約0.7~1.1%，而總要素生產力成長率約為1.1~1.5%，同期間，受景氣衰退循環之生產力下滑約0.2%，整體而言，預估未來5年美國生產力成長率平均每年約介於2.0~2.8%之間，與Fed所估計之2.5%相近。
九、 由於生產力與經濟發展及生活水準息息相關，廣受市場重視，如果短期內在勞動參與人口、每週工時與資本存量等要素投入不變的情況下，勞動生產力成長率約與經濟成長率相當，企業獲利成長及長期股價表現亦與勞動生產力成長亦步亦趨。此外，生產力成長亦與均衡失業率及Fed政策密切相關，從1970年至1990年間，平均生產力成長率1.5%，而該期間平均失業率5.5%，而最近十年生產力成長率平均在2%以上，失業率平均低於5%，Fed仍不致於擔心引發通膨而採取緊縮政策。
十、 除此之外，較快的生產力成長也伴隨著賦稅收入的成長，並可增強貿易競爭力，以及支撐較大的經常帳逆差，美國國會預算局估計，若未來10年生產力年成長率每增加0.5%，累計10年之預算赤字將可減少1.3兆美元。另一方面，如果企業毛利及通膨不變，生產力成長率約略等同於實質工資成長率，假設生產力成長率3%，通膨維持於2%附近，則名目工資則可上漲 5%而不致引發通貨膨脹壓力。
十一、 至於生產力成長與實質利率間的關係，也一向受到市場關注，部份人士主張長期均衡實質利率約與長期生產力成長率相當，然而，短期均衡實質利率則應為長期均衡實質利率扣減利率期限結構溢酬，若再加上通膨、利息所得稅及交易費用後，即為短期均衡名目利率；如以美國為例，假設長期生產力成長率2.5%，減掉利率期限結構溢酬(50~100bps)，短期均衡實質利率應介於1.5%~2%間，另外加上各國央行普遍可接受之通膨目標約2%，並考量利息所得稅等費用成本，合理之短期中性名目利率估計約在 4%附近，恰與泰勒法則之回應函數中所隱含之均衡政策利率4%的假設相符，從而在政策操作上，主張可與泰勒法則相結合，惟目前此項看法仍有待進一步探索與研究。
十二、 展望未來，雖大部份的機構預測多認為未來生產力之成長大約在2.5%附近，但由於生產力不易預測，此一預測值仍存有相當大的不確定性，申言之，影響未來生產力的因素，像是技術進步可能遭遇瓶頸，高漲的能源價格及地緣政治風險、以及美國房地產市場泡沫破滅與保護主義的抬頭等，皆可能造成勞動市場的磨擦與無效率的現象，最後，Fed對於物價上漲的控制也可能引發過度緊縮而肇致經濟硬著陸及生產力成長下滑的風險，而未來生產力成長之實際演進路徑，預料仍將是金融市場參與者持續關注的焦點。

四、固定收益商品之風險衡量

固定收益證券的市場風險，眾所皆知，基本上無可避免地會談到存續期間（Duration）與凸性(Convexity)等因素與債券價格變動間的關係，如同衍生性商品中的Delta、Gamma等希臘字母所表示的風險特性，一般在債券投資組合中最常以Duration衡量殖利率曲線的變動對債券價格的影響（即債券價格B對殖利率y微分、δB/δy），實際上許多市埸參與者以Bloomberg上已計算好的Risk值做避險，在短時間內要做決定之用亦屬相當便捷。

而信用風險或個別債券風險則常以債券價格變動量相對於該債券的殖利率與指標利率間（Swap rate或其他避險工具債券利率i.e. US Treasury、 MBS Pass Through）的利差變動加以衡量(或稱Spread Duration，δP/δs, 以bp表示)，並作為投資銀行每日避險時的參考依據，但也有部份人士認為Spread Duration較適合券商使用，中、長線的投資者採用短期利差變動量評估風險並不很適當。

而在應用上，由於債券的信用風險變動會造成利差波動（spreads），在利用Asset Swap轉換成浮動加碼形態的評價方式時，由於在遠期現金流量折現過程中，分子項的現金流量加碼與分母項折現因子加碼會同時變動，並且會受到殖利率曲線形態影響，預測價格變動的spread duration在演算上會較為複雜。但不論是effective duration 或spread duration避險，由於評估債券價格的模式屬非線性，以Duration為基礎的一階避險，必須經常進行投資部位避險調整（每日或每週），以免失去避險效果，如能將凸性（convexity）也考慮進去，進行二階避險就比較不需要經常調整，但代價是計算上會變得複雜許多。

至於固定收益投資組合的風險衡量或避險，因投資組合中包含大量債券，故常以Key Rate Duration的方式，即按各個主要天期殖利率轉換為一組存續期間向量，而有別於前述單一存續期間的衡量方式，將殖利率曲線變動對債券投資組合價值的影響，分解為3月、1年、2年、3年、5年、7年、10年、15年、20年、25年及30年等殖利率曲線上關鍵利率加以分析。

當一個關鍵利率發生變動時，左右相鄰的兩個關鍵利率固定不變，而在相鄰關鍵利率之間的折現利率，則採線性內差方式計算推出；例如假設3年期零息利率為4%，5年期零息利率為4.5%，則可假定4年期折現利率為4.25%，並任意假設今天殖利率曲線出現反轉－3年期零息利率從4%上升至5%，而5年期零息利率仍固定不變為4.5%，而4年期折現利率則從4.25%上升至4.75%，並重新將各到期日現金流量以新的折現利率分別加以折現，可彙總計算出此債券投資組合在3年期關鍵利率變動100bp後的價值P1，並與原投資組合價值P0比較，即可算出3年期的關鍵利率存續期間 【(P0－P1)/100bp】，而將各個關鍵利率之存續期間予以加總後即為整體投資組合之存續期間，上述以各個關鍵利率存續期間之方式分析債券投資組合有助於瞭解投資組合的風險集中於那些特定的關鍵利率，並可針對重點關鍵利率加以注意或避險。

以Key Rate Duration的方式進行投資組合風險計算及避險操作可得到不算差的結果，也不一定要像歷史模擬法般，每天必須取得每一證券正確的市價，以免出現Garbage in, Garbage out的情況而且要維持投資組合成份無大幅變動的情況下才較具可靠性的缺點，目前在Bloomberg資訊的投資組合管理功能項目中的PKRD指令，有提供Key Rate Duration的計算功能。此外，實務上也可見以Key Rate Duration的觀念並配合對殖利率曲線的主成份分析（Principal Component Analysis），進行風險值的衡量並為適當之避險操作。

當然較好的避險方式就是一開始就不要買危險或太複雜的固定收益產品（若有購買，一般原則為不超過投資組合總金額5%），進行固定收益商品投資時，儘量選擇流動性較佳的產品，例如在全球性市場發行的債券較地區性發行的債券佳，而且最好選擇發行金額須達50億美元以上的債券；此外也避免購買發行者可隨時增補發行（Reopen）的債券，而MBS債券則另須注意抵押資產的品質穩定性（如Loan to Value Ratio等），並留意利率選擇權市場的波動性，尤其不要隨便賣出選擇權等基本的原則，大致上便可掌握對固定收益投資組合的風險，不至於讓資產管理者面臨過大的損失，然而，說的容易、做的難，畢竟要同時兼顧來自外部的績效壓力與追求高報酬所可能帶來的高風險也不是一件容易達到的事，先前許多上巿公司將財務部門當成利潤中心，積極操作各類衍生性金融商品以求挹注獲利，最後多以悲劇收場，便是一個鮮明例子。

至於在整體金融機構層面之利率風險管理，由於內部各個不同性質單位所衍生之資產及負債最後必須加以彙總，對於利率風險的管理會較為複雜，但仍不外乎採用存續期間加總的方式加以處理，一般並再透過內部資金移轉訂價機制(類似於傳統上使用之聯行往來息方式)的建立來加以調節，由負責全行資金調度的部門依每日市場行情，訂定各個天期的資金利率移轉價格，訂定資金移轉價格的過程中，不同點在於通常需再加上提前償還資金的選擇權價格加碼，但無須包含信用風險的溢酬，信用風險則由各個單位在其權限額度內自行負責，亦即僅考慮內部使用資金或貸放資金者的利率風險價格。當然，各個單位仍可於授權額度內承擔利率波動的風險與收益，但整體金融機構的利率風險透過適當衡量的資金移轉訂價機制將可獲得有效控制。

附帶一提的是，實際在計算所有資產及負債現金流量之每日市場價值變動時，不同到期日現金流量所採用的折現率之估算，扮演著相當基本重要的角色，對於整條殖利率曲線上（各天期）折現率的推導，過去一般採用3次多項式平滑化（cubic spline）的方式以求得各天期現金流量零息債券折現率，惟主要金融機構多已改採用4次多項式平滑化的遠期折現率，將各天期現金流量以各個平滑後殖利率曲線上之遠期折現率逐期折現計算總資產及負債之現值。

(一)利率商品之存續期間與凸性
存續期間係指債券持有人平均要等多久的時間才可收回債券的現金流量。假設債券持有人在時點ti會收到現金流量ci，則債劵價格B和債劵殖利率y的關係為：
B=∑ cie-yti而存續期間D定義為 D=（∑ ticie-yti）/ B =∑ ti(cie-yti/B)可說是所有現金流量的加權平均時間，用以計算連續複利下債券價格對利率變動的敏感度。因此，可將債券價格折現公式B=∑ cie-yti 對殖利率y微分，可得出下列關係： δB/δy＝－ti∑ cie-yti = －DB，或移項書為 δB/B＝－Dδy。其中(δB/B)為債券價格變動的百分比，相當於存續期間（加上負號）乘上利率變動幅度。如將上述連續複利型態改為每年複利m次表示時債券債格B B= （ci）（1＋y/m）-ti若將現金流量依時間加權，則可求得Macaulay存續期間為： DMacaulay=（ （ti/m）ci（1＋y/m）-ti）/ B，而債券實際存續期間－(δB/δy) /B，則應採修正存續期間(Modified Duration)，可從Modified Duration與Macaulay Duration的關係進一步求出：DModified＝－(δB/δy) /B ＝－( （-ti/m）ci（1＋y/m）-ti-1) /B (將B對y微分) =（ ci（ti/m）（1＋y/m）-ti）/（B ×（1＋y/m）） = DMacaulay / （1＋y/m）因此，債券價格之變動百分比為：δB/B＝－DModifiedδy＝－ δy

實務上，許多金融機構為求較佳之避險效果，紛改採Extend Vasicek Model之r-duration計算資產及負債現金流量之存續期間：
r-duration＝F（r）＝1/α（1-e-ατ）
其中α為短期利率迴歸長期趨勢之調整速度參數
τ為零息債券之剩餘到期期間（現金流量到期日）

而相對應之避險比例仍為 w＝－(F(r1)．V1) / (F(r2)．V2) ，
其中V1 為欲避險商品之淨現值（價格＋應計息），V2 則為避險工具之淨現值（價格＋應計息）。

惟此法缺點為α的估算見仁見智，也不一定很準，不過不要緊，反正，通常比較複雜的模型就容易被認為是較準確、較好的方法，讓人看不懂的模型通常被認為比較有學問，較不會遭受批評。

此外，為求較精確之債券價格之變動量估計，則可使用泰勒展開式之二階逼近，即債券價格之變動量= -（存續期間）×（殖利率變動量）＋0.5×（凸性）×（殖利率變動量）2，其中凸性（Convexity）則又是存續期間對利率變動的敏感度，亦即凸性係透過影響存續期間而再間接影響債券價格；因此，當債券或投資組合的存續期間增加時，利率的下降(或上升)會導致債券或投資組合價格的上漲（或下跌），然而凸性則有所不同，如果凸性為正值，則不論利率上升或下降，對債券價格都有正面的影響，換言之，當利率波動愈大時，凸性對債券價格的助益就愈大。

因此，當預期市場利率波動幅度變大時，投資人皆希望所持有之債券或投資組合中資產與負債的存續期間儘量保持相等，而凸性則愈大愈好，然而，毋庸置疑，要持有正值的凸性並不是免費，通常不可提前償還的債券具有的凸性(正值)皆大於可提前償還債券具有的凸性（利率相對低檔時變為負凸性），由於市場一般不會允許套利機會持續存在，因此，可提前償還債券的收益率（如抵押債券、Callable Bond）會比不可提前償還債券的收益率（如政府公債或相同信用水準下收取固定利率之交換合約）來得高些，以彌補投資人所損失的凸性，換言之，持有可提前償還債券之收益率高於不可提前償還債券收益率之間的利率差距，即為放棄凸性的代價（惟有部份人士認為由於某些制度結構性因素的存在，蓋凸性的價格被高估）。而在概念上為便於理解，可設想在統計上－凸性與債券價格相對利率之二階動差有關，而選擇權的波動度則與債券價格相對時間之二階動差有關，至於利率與時間之間的變動關係，則可透過利率模型加以連結，因此買入凸性可當作類似於買入選擇權的波動度（buy volatility）。

實際操作方面，當評價含有選擇權之固定收益證券時，則常以Bloomberg債券中的AOAS頁面查詢經選擇權調整後的利差，即該債券扣除選擇權後的殖利率與指標殖利率曲線間的相對利差做為投資時的參考，雖不一定嚴謹，在交易時仍具實用價值。當然若要進一定在選擇權訂價做波動度的微調（Skew Adjustment），亦可採CIR、BDT等利率模型調整，但交易上爭議仍大，乾脆直接以換利選擇權Swaption市場的波動度，做為AOAS選擇權調整的依據來得更為便捷。

(二)利率商品的避險工具
利率商品的避險工具主要有利率期貨及利率交換合約，規避短期利率波動可採利率期貨避險。而較長期間的利率避險行動因部位較大且涉及資產配置策略，則宜採利率交換合約方式避險，因此實務上，各國央行對於外匯準備部位的利率避險操作，多以利率交換方式行之而非採利率期貨避險。

1.利率期貨
關於利率期貨避險功能，現貨投資者可採放空公債期貨以彌補未來現貨價格下跌時的損失，美國朝貨市場最常見的長期利率期貨合約，應屬芝加哥期交所（CBOT）的長期公債期貨合約。投資者如欲依投資組合基點價值(PVBP，即當殖利率變動1個基本點時，投資組合的市值變動金額)以放空期貨的方式進行避險操作，則必須計算放空期貨的存續期間與投資組合的存續期間：
放空期貨合約數
= × (過去投資組合收益率變動相對於最便宜可交割債券殖利率變動之β值)
其中最便宜可交割債券可採用隱含附買回利率來找尋，隱含附買回利率（Implied Repo Rates）是指期貨價格中所隱含的短期利率，由於期貨價格與現貨價格間的關係主要考量持有成本，即短期借款利率（Repo Rates）與債券利息收入，然後推算理論上的期貨價格。 理論上的期貨價格＝現貨價格－（債券利息收入－短期借款成本）；如將已知的期貨價格、現貨價格、及債券利息收入代入，即可求得隱含短期借款利率如下（假設同時買現貨賣期貨）：

[(轉換因子×實際期貨價格)＋上次付息日至期貨交割日應收利息－購買現貨價格－上次付息日至現貨購買日應付利息]×（ ）×（ ）＝隱含附買回利率（Implied Repo Rates，隱含短期借款利率）

隱含附買回利率相當於期貨套利操作上之短期借款損益兩平利率，如果期貨賣方能以低於隱含附買回利率的利率借款來購買現貨債券（通常不會發生），將可賺得之借款利率與隱含附買回利率間的價差，因此，隱含附買回利率（損益兩平利率）最高者便是最便宜可交割債券。

此外，由於最便宜可交割債券（CTD）經常在附買回交易市場中具有較高的借券利率（special rate），故許多債券投資者偏好購買較可能成為CTD的債券以便享有較高的養券收益。而要預測那一支債券較可能成為CTD，實務上有一些金融機構利用主成份分析法找出殖利率曲線的主要風險因子（平移、旋轉、扭曲）的因素值（i.e.1~3個月期間的因子標準差）及各因素負荷量之後，再以模擬的方式計算出各個路徑下的利率與相對應之CTD，再彙總歸納出各期債券成為CTD的機率，並投資購入最有希望成為CTD的債券。

2.利率交換

利率交換（Interest Rate Swap）則是一種廣為使用的互換協定，在利率交換合約中，一方同意未來一定期間內將會依據名目本金以固定利率定期支付另一方，以換取相同期間內的浮動利息收入；利率交換合約中的本金通常不會交換，僅交換固定、浮動利息之差額，利率交換合約可將一個固定利率債券轉成一浮動利率債券，縮短資產存續期間，反之，亦可將一個浮動利率債券轉成一固定利率債券，延長投資組合存續期間。

利率交換合約在簽訂時，合約價值應為零，但經過一段時間之後，合約價值就可能變成正或負，在評估合約價值時，皆使用Libor零息利率作為折現率。而評價上，可將利率交換合約分解為多個遠期利率協定的組合，並根據Libor會等於遠期利率的假設，計算交換合約每期的現金流量，最後，再將這些現金流量以遠期零息利率折現，即可求出交換合約目前的價值。

一般而言，利率交換訂價上僅包含信用風險，並不具有流動性風險，因此實務上常以AA級債券與Swap Rate間的利差，衡量債券流動性溢酬（流動性風險）之變動情況，或是以Swap Rate與公債期貨間的利差衡量金融市場的信用加碼與風險偏好變動情況。此外，由於利率交換市場的成交量大，無須交付本金，反向軋平部位容易，因此，部份央行已陸續採用利率交換交易調整本身投資組合之存續期間。另外，有部份投資管理機構則主張，金融機構本質上仍應採取以短支長的方式，設法賺取長期利率平均高於短期利率之殖利率曲線結構性溢酬，在整體長期投資策略上，並應兼用利率交換及期貨等衍生性工具，儘量採行收取長期固定利率之利率交換合約或買進公債期貨等方式，相當於，以短期利率負債融通長期利率資產的基本投資策略，方能創造出持續性的操作績效。惟運用此法見仁見智，仍應注意市場結構或殖利率曲線變動時所可能衍生的風險。

三、風險值之量化 (9/22)

一般而言，估算風險值的方法大致上可分為部份評價法與全方位評價法，部份評價法一般指變異數-共變異數法，包含歷史移動平均法、指數移動平均法（RiskMetricsTM）、GARCH預測法等，而全方位評價法一般包括歷史模擬法（Historical Simulation）與蒙地卡羅模擬法（Monte Carlo Simulation）等，其中以指數移動平均法及歷史模擬法在實務上較常見。

(一)變異數-共變異數法
目前最廣為金融機構使用的部份評價法求解方式為JP Morgan的 RiskMetrics，後來分割獨立為子公司，其假設投資組合獲利率為正常機率分佈且與風險因子變動為線性關係，因此投資組合的風險值可由風險因子的標準差及相關度計算得出(若是對於風險因子時間數列長短的設定有所不同，則會得到不同的標準差及相關度)。對滿足上述二項假設的簡單線性投資組合，如債券、現貨及遠期外匯、短債工具等，部份評價法可得到確認的數值，但對選擇權、結構債券及不動產抵押證券等具有gamma、convexity等資產組合，較易產生不準確的風險值。
而實際評估風險值的困難度，由易至難分別為貨幣市場存款、遠期外匯、債券、遠期利率協定、交換(swaps)、外匯選擇權、利率選擇權，而且即使業界使用同一模型計算風險值，對上述資產項目之風險值估算，彼此間仍會出現差異，主要在對演算法、計算日期、利率期限結構、假日設定存有差異。此外，變異數-共變異數法的特色在於估算過程簡單快速，僅需資產價格變動的變異數-共變異數矩陣資料，但不適用於非線性損益商品，或存在偏態（skewness）及峰度（Kurtosis）的損益分配之報酬。
1.歷史移動平均法
歷史移動平均法將投資組合之價格變動率視為常態分配，歷史移動平均法可用於具有常態分配且不同期資產價格變動彼此獨立之投資組合中，此法先計算出過去一段時間風險因子價格變動的標準差，再求出風險值：即假設價格變動△S符合常態分配，Σ為各個價格變動率間的共變異矩陣（N×N），μ為部位之期望價格變動率矩陣（N×1）（報酬矩陣），CF為各部位之現金流量矩陣（N×1），而σP＝√（CF/ΣCF）為投資組合之標準差，Zα為信賴水準為α時之常態單尾臨界值，通常採95%信賴水準約為1.65倍標準差、Zα=1.65（或99%信賴水準約為2.33倍標準差、Zα=2.33），則風險值為：VaR＝ZασP√t預期投資組合報酬則為 △P＝CF/μ
2.指數移動平均法（RiskMetrics法）此法以常態分配為前題，採指數加權移動平均法計算風險值，而權數會隨時間不同而變動，距離計算時點愈近、資訊效果愈大、權數愈大，其變異數為：
σ2t+1＝（1-λ） λt-s（XS－μ）2
其中 λ為衰退因子 σt為第t天的估計標準差XS為第s天的報酬率μ為平均報酬率一般衰退因子值λ多介於0.85至1之間，通常採用0.94。

事實上，RiskMetrics的變異-共變異數處理方式為下述3.中所介紹之GARCH類模型的一項特例，即為GARCH(1,1)模型中ht＝a0＋a1εt-12＋bht-1，將a1設定為0.06，b則設定為0.94，此點亦顯現出RiskMetrics的主要問題，即前式中(a1+b)等於(0.06+ 0.94)~1，該係數趨近1的結果將導致此模型變為非定態時間序列模型（Non-Stationary），用於風險預測上的準確性欠佳，但因其方便且易於瞭解，仍受到廣泛的採用。
3.GARCH模型
在上述簡化的RiskMetrics模型中，除了假設樣本的分配為常態外，並且樣本變異數與其時間落後項之間互為獨立關係，但是事實並非如此，報酬變異性間經常存在著序列相關情況，並存在著的波動群聚現象，共變異數也不是等於零，故就此現象修正原先之時間序列模型，建立自我回歸條件異質變異數模型，該模型常用之殘差項共變異數的估計式為：
Rt＝β0＋β1 Rt-1+εt，其中ht＝a0＋a1εt-12＋bht-1 或 σ2t＝a0＋a1εt-12＋bσ2t-1 形式（h為ε條件變異數），也就是假設資產價格有大幅變動時，伴隨而來的也將會是較大的波動性，如此比較符合實際的市場變動情況，而在自我回歸條件變異情況中，也較易達到穩態並具有效率。對於一般投資組合的風險值估計，經常建議採用指數GARCH（p,q）模型，即：
Log(ht)=ω+ Log(ht-j)+
至於股票投資組合的風險值估計上，則較常用GJR（p,q）模型：
ht＝ω+ ht-j＋
目前已有部份金融機構開始嘗試採用GARCH模型進行較大規模的風險值計算工作，但是如何改善與外部或內部高層之溝通工作，則是另一項挑戰。
（二）歷史模擬法：
歷史模擬法採行簡單式的模擬，選擇實際市場價格變動的歷史資料，重新估算投資組合，建構組合價值改變的分佈情形後，可得條件下的風險值。歷史價格的模擬最主要關鍵為資產價格走勢期間長短的選擇，太短則無法掌握所有資產間的關係或事件，取樣時間太長則失去預測能力，部份投資銀行在實務上採用每週資料做為分析基礎（或5個營業日），取樣長度則較為分歧，1年、2年、5年皆有，視不同商品及測試結果好壞等情況而定，但華爾街券商較常用過去12個月的每日歷史資料做分析基礎（如採每週資料做分析，取樣長度常用5年左右，惟需留意市場價格走勢是否存有結構性轉變的問題）。
歷史模擬法優點為對於所有商品的風險值估算具精確度，可描繪出完整的損益分配情況，不需加諸統計分配假設，估算速度較蒙地卡羅模擬法快（模擬情境較少），缺點為需要較長的價格歷史資料，而且歷史資料可能無法模擬未來情境在信賴機率水平太高時的情況（例如，99﹪以上），估算精準度會較差，因此，一般會再配合壓力測試進行補強工作。
（三）蒙地卡羅模擬法
蒙地卡羅模擬法是假設離散價格的變動服從某種隨機過程的形態，利用電腦模擬，在目標時間範圍內，產生隨機價格的路徑，並依此建構資產報酬分配，進而推估風險值，如此不但涵蓋變數的所有可能狀況，也可以處理非常態模型，蒙地卡羅模擬法和歷史模擬法的基本概念類似，但不同之處在於蒙地卡羅模擬法的價格變動率是從所訂的隨機模型中隨意抽取出來，蒙地卡羅模擬法的操作程序主要包含三個步驟：創造一個市場因子變化的樣本，並依隨機過程模擬的資產價格路徑，再綜合模擬結果，建構資產報酬分配，並依此計算投資組合的風險值。蒙地卡羅模擬法優點在於可涵蓋非線性資產部位的價格風險，波動性風險，甚至可用來計算信用風險。亦可處理具時間變異性之變異數，以及在極端狀況下之非常態分配模擬等多種特殊情形。缺點則在於耗費較多的計算時間，而且必須給定適當的價格路徑模式，才可能模擬出應有的情境，故必須注意有關模型風險方面的問題。

貳、淺談投資組合風險管理

一、當前風險管理趨勢 (9/20)

風險值模型(Value-at-Risk, VaR)大部份文獻認為是源起於90年代初期的風險管理工具，此方法傳說中是由J.P.Morgan Bank肇始，主要用於本身內部風險衡量與控管，經過不斷演化改進，風險值模型不但被許多金融機構引為主要的風險管理標準工具，並已成為現階段風險管理實務上的主流方式，然而，風險值模型雖然符合一般機構對風險衡量的要求，但並未提供避險的方式與代價，故融合選擇權理論之賣權概念模型亦逐漸形成另一發展方向。

大體而言，風險值評估於一段期間內（通常為一天或十天），當市場處於正常市況下，投資組合可能發生的最大損失金額；或當市場出現不利狀況時，投資組合的最大可能損失金額（儘管實際上，若市場真出現崩盤，風險值似乎也不太管用）。因此，風險值以投資組合的損益金額大小為表示單位，並多以常態分配下的分位數（或稱為信賴水準）定義最不利的情況發生可能引起的損失。換言之，風險值表示在既定的信賴機率水準下(i.e. 99%信賴區間)，投資組合於固定期間內的最大可能損失金額。

風險值的特點在於提供量化、客觀的風險衡量方法，瞭解可能的部位變化情況，估計可能產生損失的機率，預計承受損失的程度，以及因應市場變動所帶來的風險，同時考量投資部位和實際損益之變動是否同向等量，這些均屬衡量風險上的重點。一般而言，風險值的衡量方法大致上有變異數－共變數法、歷史模擬法、及蒙地卡羅模擬法等方式。金融機構在實際執行上主要以歷史模擬法為主流，將本身持有之每一筆證券的歷史報酬率波動加總計算得到的風險值較為實在，比較容易瞭解個別產品在評估期間內的風險大小，也比較不用顧慮因模型假設或風險因子的選擇及分類可能造成太多爭議，跟外界的溝通方面會比較簡單明瞭。

綜言之，投資準則為資產管理者進行投資產管理的基礎，而風險值則可視為輔助工具，其功能在於協助資產管理者明確暸解當時的風險暴露大小與風險結構是否與預期相符。一般而言，風險值在投資管理領域的基本應用，大致上可歸納為：

(一)做為訂定交易部位的參考：
一般的資產配置程序中，通常會對交易部位或交易損失予以明確限制，其中損失限制可分為：以市價結算之停損機制或評估未來一段時間可能發生之損失金額不得逾某一上限，進而規範單一資產或單筆交易的風險值貢獻度之上限，在不逾越限額的前提下，應賦與資產管理者高度的交易彈性，而風險值便可於規劃交易部位限制時，作為一項參考依據。但實務上，即便擁有高度複雜的風險計算系統，大多數華爾街券商在不同類型資產之風險額度的分配訂定上，仍仰賴內部高層與投資管理委員會成員對未來經濟前景與市場走勢的主觀判斷，於共同討論後，直接決定各類商品之交易部位額度，而非僅依賴模型預測之報酬/風險值高低就做成投資策略。

(二)控制風險承擔上限
風險值機制給予資產管理者或投資組合可以接受的部位損失上限，通常機構法人會採用相對風險值，而一般投資者採用絕對風險值，事先制定投資風險承擔上限。定期性檢視估算風險值及給定的損失上限是否合理，以瞭解投資組合的風險值是否逾越被授權的額度，此制度的建立重點並不在於強迫資產管理者必需調整投資部位，而在於當風險承擔上限超出時，能編列例外警示報告（exception report），並交由投資決策小組討論；或是告知當時的市場變動與可能遭受的風險，並決定下一個行動步驟。

由此可知，上述的檢測機制重點不完全落於嚴格控制投資組合的風險值，而在於建立一可行的制度與程序來處理市場異常變動，促使資產管理者能夠系統性的監控其風險值，並且維持資產管理者對於投資組合的主導權，從而當風險承擔上限可能超出時，交易室人員便能先與內部高層溝通討論，若是真的等到風控人員送交例外報告向內部高層報告時再採取行動，大都已經太晚。

(三)規劃風險預算配置
風險預算（risk budgeting）指投資風險額度配置的方式，將投資組合的風險承擔上限依其資產配置的投資項目種類，於考量風險分散效應後訂立風險額度，並再分配至每一類投資項目，資產管理者就依照此風險配置額度執行其投資組合的管理，而為了控制流動性風險，在外匯準備管理上，通常將資產分為流動型資產及收益增加型資產後，再分別進行風險分解及整併工作。 風險分解（risk decomposition）屬於進行風險預算配置的先前作業： (1) 依據資產管理者的資產配置屬性（風險因子或資產類別）執行風險貢獻度的分配，其中風險因子係指利率風險及匯率風險等（或再細分為殖利率曲線平移、斜率、曲度變動及債券信用及流動性加碼利差等），或以資產類別加以區分為不同類型債券，以及短中長不同天期之利率風險等。(2)比較目前實際的風險配置狀況與預期的風險配置間的落差。並依據風險分解的結構，再分配風險額度及進行詳實的評估，即(1)設定風險因子（利率、匯率）及資產類別（US Treasury、TIPS、MBS、Repo、Swap…）的風險承擔上限。(2)調整資產配置，使得實際的風險配置滿足風險承擔上限。 前述的風險配置程序，亦可採不同的資產管理者做分類標準來代替風險因子（或資產類別），而將風險額度調整配置至資產管理者，亦可將此觀念延申至資產管理公司對於專業基金經理人的管理，以控管日常經營的風險。但話又說回來，有時理論歸理論，在風險配置上，多數投資機構本身對市場的看法（View）仍扮演重要的角色。例如於許多情況中，投資銀行在實際投資運作及風險管理決策上，高階決策階層通常於考量市場成長趨勢及總體經濟前景後，直接決定資產配置的整體方向，如果沒有人強烈反對的話，再衡量設定各類資產的風險承擔限度，並由風控人員及交易室人員每日留意風險變動的情況。 既然仍需仰賴人為專業判斷，於考量市場趨勢及總體經濟前景後，才能決定資產配置的整體方向，那花那麼多錢建制風險管理系統幹嘛？就只是為了計算出一個風險值來看一看而已嗎？大部份華爾街上所謂的專家會回答：那倒也不盡然，能將風險量化已經算是個人的一小步，銀行的一大步了，有了風險值之後，才知道下一步需要再做什麼更深入的東西，有那些功能是未來可以再改進加強的，況且，最基本的，起碼有了這套系統才能符合主管機關的規定，才能繼續開店做生意，這點是相當重要的。

說到這裡，大部份的老闆便會認真的思考風險管理系統的價值並問道：「喔！那要多少錢？」，也才會心甘情願每年花上幾千萬美元建置風險管理系統，當然，對非屬於經紀商或自營商且不操作複雜結構商品之保守投資者而言，系統會簡化許多，亦可選擇市面上一些系統開發者販售的風控系統，價格會比較低廉，亦可加以客製化，並節省銀行內部有限人力資源。或是將量化風險及績效評估的工作委外給保管銀行承作，許多大型保管銀行均提供此類服務；結合保管對帳與風險/績效評估服務，雖然增加些費用，通常還算值得，而保管銀行也希望藉由此類服務深化顧客關係，同時擴大業務基礎。

2004 投資績效評估及風險管理報告系列

壹、前言 (9/18)

中央銀行職掌貨幣政策及通貨發行，市場參與者對央行可信度及穩定性的重視程度自然不在話下，有鑑於此，央行對投資組合之風險管理亦較一般金融機構更趨謹慎；而其中，有關外匯準備之風險管理又屬中央銀行整體風險管理上重要的一環，故外匯準備投資組合之績效評估與風險管理遂值得加以探討。植基於此，對於近年來受到廣泛討論之金融機構市場風險、營運風險、信譽風險及普遍為各國央行採行的風險值模型等議題，皆為本文欲探討之熱門話題。除此之外，由於金融風險有高度的複雜性，隨著資訊科技日新月異，將風險值計量模型及選擇權避險模型與具備強大運算能力的資訊系統相互整合而成之風險管理系統，亦逐漸成為資產管理業務上的發展重點。
雖然在資產管理程序上，中央銀行與一般金融機構並無明顯不同，有關建構投資組合之步驟，仍不外乎先決定投資準則，界定投資組合屬性及對報酬/風險抵換關係的要求，並衡量當時市場狀況擬定投資策略，事後再透過投資組合的損益分配情况，評估檢討投資操作之績效與風險，並據此檢視是否符合原先之投資準則及目標，作為日後修正改進之參考，依此構成一完整的投資活動循環，並激勵投資管理者在承擔有限風險情況下，積極尋求較高的投資報酬。
然而，由於央行肩負著穩定金融市場的職責，有時基於穩定匯市的考量，不得不握有特定外幣資產而承擔外幣匯率及利率波動的風險；此外，如屬採行被動式外匯管理政策之小型開放經濟體，央行為捍衛幣值，更必須確保本身擁有足夠之外匯準備，並同時維持外匯準備與國內貨幣總計數之間的關係。因此，對央行而言，除了獲利的考量外，貨幣政策目標亦會影響到外匯準備投資的目標與管理原則，也使得外匯準備資產管理更形複雜，更加重視資產的安全性與流動性。
本文所要探討有關投資管理之風險控制問題，眾所週知，風險值（Value-at-Risk, VaR）的運用有其獨特的重要性，利用風險值的特性，可解析影響投資組合損益的風險因子與不同資產項目的風險貢獻度、並瞭解不同風險因子之間的風險分散效應，而整合這些量化資訊將能較為精準地估算並衡量投資組合的風險水準，並可循此訂出投資績效的合理目標或投資風險的承擔上限，以避免偏離投資目標。
簡言之，風險值即針對交易部位可能承受之市場風險，在特定信賴區間下，計算特定期間內，交易部位因市場不利變動而可能發生的最大損失。由於傳統財務會計僅能提供商品的本金、契約條件及市價，並無法提供商品的動態資訊，採用風險值除可瞭解特定期間內的部位風險，亦可瞭解未來市場波動所可能造成投資組合之價值損失，及早採行避險行動加以因應。蓋風險值除可估計投資組合的整體風險外，尚可應用於資本需求的決定、資本的配置決定，以及績效報酬目標設定等決策參考。
當然風險值的方法也有其缺點，主要在於VaR常低估在極端情況下的可能損失，VaR是在正常的市場情況下分析不同商品的波動性與相關性以量化投資組合風險，但在遭遇系統性的金融危機時，統計分配之參數常發生改變，如911事件及東亞金融風暴，不同資產間的報酬相關係數將會趨近於1，投資組合跨市場分散風險的效果將會明顯降低，而出現損失金額大幅偏離常態分配預期值之左尾及厚尾現象，因此，通常須輔以壓力測試或極值分配理論等解決方案以模擬最差的可能情況，另外，風險值方法的另一項重要遺憾，在於未能提供如何避險及避險代價為何之具體解決方案，因此在實際運用上，融合選擇權理論之賣權概念模型便逐漸成為另一發展的方向。
此外，實際運用VaR時亦須格外小心，VaR操作就猶如投資組合保險等衍生性商品的動態避險策略，當所有的金融市場參與者皆因超出風險值限制而同時減少部位時，可能會加重市場的賣壓，故在風險值的運用上，富有經驗者的判斷仍不可或缺，並應將壓力測試模型納入VaR模型，以期能適時反應當市場結構發生改變時，投資報酬之可能變動情況。
至於投資組合績效分析方面，則著重於投資者必須能合理計算投資組合的報酬，瞭解投資組合的價值變化，區分出那些部份是可歸因於操作者的技巧，同時比較管理費、賦稅、以及匯率波動對於投資報酬的影響，並分析資產管理者的操作效率，亦即假設投資組合與標竿指數或其他資產管理者在相同的風險條件下，投資報酬率是否確實比較高，或所謂報酬/風險比值是否較大，資產管理者所採取的積極式管理是否產生合理的經濟附加價值，以及從過去的操作績效及投資風格上判斷資產管理者是否確實具有穩健可持續的優良操作技術，這些都是投資者在進行績效評估上值得深入探討的議題。最後，本文觀點純屬作者個人意見，與服務單位無關，內容多所疏漏謬誤之處，尚祈見諒，並請不吝指教。

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